Решим биквадратное уравнение:

\(x^4 + x^2 - 2 = 0. \qquad (1)\)

Уравнение (1) решим путем введения новой переменной.

Обозначим \(x^2\) через \(y\):

\(x^2 = y.\)

Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной \(y\):

\(y^2 + y - 2 = 0. \qquad (2)\)

Решим уравнение (2) методом дискриминанта.

Общий вид квадратного уравнения:

\(ay^2+by+c=0.\)

Для уравнения (2): \(a=1, b=1, c=-2\).

Найдем дискриминант:

\[D=b^2-4ac=1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0.\]

Так как D>0, поэтому уравнение (2) имеет два действительных корня, которые находятся по следующей формуле:

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}.\)

То есть,

\(y_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Так как квадрат ни одного действительного числа не равен отрицательному числу, поэтому уравнение \(x^2 = -2\) не имеет действительных корней.

Из уравнения \(x^2 = 1\) находим:

\(x_{1,2} = \sqrt{1}  = \pm 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\)

Таким образом, уравнение (1) имеет два действительных корня:

\(x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\)

Проверка.

\(1. \quad (-1)^4 + (-1)^2 - 2 = 1 +1 - 2 = 0.\)

\(2. \quad 1^4 + 1^2 - 2 = 1 +1 - 2 = 0.\)